Teorìa de Conjuntos

Conjunto: se suele decir que una agrupación de elementos es un conjunto, pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque no tenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el directorio telefónico, un árbol, el grupo de presidentes de Colombia, el grupo de mamíferos que ponen huevos.

Símbolos: Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A;B;C;...Los elementos con letras minúsculas: a; b; c. Al representarlos , para agrupar los elementos utilizamos llaves f g, también podemos usar un diagrama de Venn, a veces es más fácil , por eso debes utilizar las dos formas.
Ejemplo:
Representa el conjunto de los números dígitos

A = (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

 
Formas para determinar un conjunto:

Básicamente existen dos formas para determinar un conjunto, éstas son:

  1. Por extensión:

Un conjunto está determinado por extensión cuando se describe el conjunto nombrandocada uno de sus elementos. Por ejemplo:

A= {2, 4, 6, 8}

B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

C= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,…}

D= {a, e, i, o, u }

 2. Por comprensión:

Un conjunto está determinado por comprensión cuando se nombra una propiedad, unaregla o una característica común a los elementos del conjunto. Por ejemplo:

C= {Números impares menores que 10}

D= {Vocales}

B= {Dígitos}


OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = { x/x Î A ó x Î B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
 
Video: Union

INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:
A Ç B = { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }



CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .

Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.
A Ç B= { }
El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B=Æ


CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.



COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï A }

Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }



DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A

 

DIAGRAMAS DE VENN