Teorìa de Conjuntos

Conjunto: se suele decir que una agrupación de elementos es un conjunto, pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque no tenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el directorio telefónico, un árbol, el grupo de presidentes de Colombia, el grupo de mamíferos que ponen huevos.

Símbolos: Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A;B;C;...Los elementos con letras minúsculas: a; b; c. Al representarlos , para agrupar los elementos utilizamos llaves f g, también podemos usar un diagrama de Venn, a veces es más fácil , por eso debes utilizar las dos formas.
Ejemplo:
Representa el conjunto de los números dígitos

A = (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

 
Formas para determinar un conjunto:

Básicamente existen dos formas para determinar un conjunto, éstas son:

  1. Por extensión:

Un conjunto está determinado por extensión cuando se describe el conjunto nombrandocada uno de sus elementos. Por ejemplo:

A= {2, 4, 6, 8}

B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

C= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,…}

D= {a, e, i, o, u }

 2. Por comprensión:

Un conjunto está determinado por comprensión cuando se nombra una propiedad, unaregla o una característica común a los elementos del conjunto. Por ejemplo:

C= {Números impares menores que 10}

D= {Vocales}

B= {Dígitos}


OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = { x/x Î A ó x Î B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
 
Video: Union

INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:
A Ç B = { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }



CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .

Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.
A Ç B= { }
El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B=Æ


CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.



COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï A }

Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }



DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A

 

DIAGRAMAS DE VENN

Lógica Matemática

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido

Proposiciones.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez.

Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.

1. Juan León Mera escribió el Himno Nacional
2. (1+2+3)>1
3. Todo numero diferente de cero es divisible por cero
4. El área de un cuadrado de lado 4 es mayor o igual que el área de la mitad del mismo
5. !Que frio!

Son preposiciones 1,2,3,4 mientras las expresión 5 no son preposiciones ya que no afirman un valor de verdad.

Valor de verdad

Se llama valor de verdad de una proposición  a la verdad o falsedad de su contenido. Si una proposición es verdadera su valor de verdad se denota por V(p)=V y si es falsa su valor de verdad es V(p)=F

• CONECTIVOS LÓGICOS

Son partículas gramaticales (y,o,no,si,etc.), que tienen un carácter enlazante y permiten la formación de proposiciones compuestas. Se representan mediante símbolos estandarizados, que son los siguientes:

• LA NEGACIÓN

La negación se simboliza, generalmente por el signo "~". Este signo puede ser traducido en palabras, así: "no es el caso que" o, más brevemente, "no".

Se establece el siguiente principio para la negación lógica: la negación de un enunciado verdadero es falsa; la negación de un enunciado falso es verdadero. Lo que equivale a decir que la negación de la negación de una proposición verdadera es verdadera; y la negación de la negación de una proposición falsa es falsa. Además la conectiva no es la única de tipo singular del listado de conectores lógicos señalado anteriormente.

• LA CONJUNCIÓN.

La conjunción es el operador correspondiente al término "y", su simbolo es  "^".
La regla para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica conjunción es la siguiente:

• Una conjunción de enunciados en los cuales todos son verdaderos, es verdadera
• Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos es falsa.

• Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean.

• LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

La disyunción inclusiva, se expresada mediante el operador"o", simbólicamente se le representa por medio de la letra "v", colocada entre dos proposiciones.
La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:

• Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una de sus alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son.

• LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

La disyunción exclusiva se simboliza pro el signo "v", corresponde a la expresión " o uno u otro, pero no ambos a la vez".

• Una disyunción exclusiva es verdadera cuando una de sus alternativas es verdadera; y será falsa si las dos alternativas son falsas o verdaderas.

• LA CONDICIONAL

La condicional, expresada por la frase "si,… entonces", se simboliza mediante el signo "→" colocado entre las dos proposiciones..

• La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás caso será verdadera.

 

• LA BICONDICIONAL

La bicondicional, expresada por la frase "si y solo sí…", denotada por el signo"↔", significa una relación bidireccional en donde ambas proposiciones se necesitan entre sí.

• La conectiva bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que la componen son a la vez verdaderas o si son ambas falsas.

Mas Información en Conectivos Lógicos